무한의 신비 ( 애머 액젤 저, 2002 )

호기심과 상상력의 무한함...

 

무한( ℵ : 알레프 )은 신비주의와 수학과 철학의 대화이다. “ 무한의 신비 ( 알레프의

미스터리)”는 고대인들의 신비주의에서 논의되었던 무한이 르네상스를 통과하며 수

학과 만나고  결국에는 철학과 소통하게 되는 과정을 이야기한다.  그 중심에 실무한

을 최초로 정의한  게오르크 칸토어가 있었다.  그리고 갈릴레오 갈릴레이와 칸토어,

쿠르트 프리드리히 괴델, 폴 코언으로 이어지는 무한과의 싸움을 보여준다.

 

그러나 중요한 것은 무한의 세계에 대한 신비로움보다는 그것을 밝히기 위한 인간의

도전정신에 있다.  이 책의 내용은 무한의 신비로움과 접근할 수 없는 미지의 차원을

알고자한 용감한 인간들의 여정을 그린 것이다. 그 과정은 결코 쉽지 않았다. 무한의

실존재를 인간 세상에  소개한 두 명의 천재 수학자 칸토어와 괴델은 결국 그 비밀의

정원을 본 죄 때문에 정신병에 걸려 쓸쓸한 죽음을 당했다.  무한은 인간에게 자신의

영역을 허락하지 않았던 것이다.

 

칸토어는 연속체 가정과 선택공리를 증명하려다 죽었

다.  괴델은 완전한 과정의 중간만큼 간 후에  죽었고,

코언에 와서  결국 그것의 정리는  불가능함이 증명되

었다.  반세기에 거친  무한의 실체를 찾기 위한  과정

을 보면서 생각해 봐야할 것은  그들에게 같은 생각과

같은  행동을  강제했다면,  그들이 그런  극한의 증명

에 도전 할 수 있었겠는가하는 것이다.

 

이 책을 읽으며 느끼는 안타까움이 바로 그것이다. 우

리의 획일화된 교육체계 하에서  이런 수학적, 철학적

도전이  과연 가능할까라는  생각의 부질없음에  대한

안타까움 말이다.. 

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P. 18

2^(ℵ(알레프)_0) = ℵ₁

이 방정식은 무한의 본질에 대한 진술이다.

 

P. 58

엔소프를 헤브라이어로 표기하면  알레프로 시작한다.  알레프는 헤브라이어의 알파

벳 첫 문자이다. 그래서 무한은 알레프로 나타낸다. 신을 뜻하는 말인 엘로힘을 헤브

라이어로 표기하면  역시 알레프로 시작한다.  알레프라는 문자는  신의 무한한 본질,

신의 하나임을 나타낸다.

 

P. 70

갈릴레오는 무한집합의 핵심 속성을 발견한 셈이다.  그 속성이란,  하나의 무한집합

은 그보다 더 작은 자신의 부분집합-원집합의 일부만 포함하는 집합-과 원소의 수가

동일할 수 있다는 것이다.  무한은 곤혹스러운 개념이다.  우리 일상생활의 직관으로

는 이런 개념을 이끌어낼 수 없다.

 

P. 133

칸토어가 창조한 새로운 수는 목록상의 모든 수와 달랐기 때문에,  0과 1사이의 모든

수를 열거한다는 것은 불가능하다.  이것은 모든 실수의 크기가 모든 정수와 모든 유

리수의 합집합의  (무한한)크기보다  더 크다는 것을 증명한 것이다. 그러나 모든 실

수의 집합이 모든 정수의 집합보다 얼마나 더 큰지는 칸토어도 말할 수 없었다. 모든

실수의  열거가 불가능하다는 것은  직관적인 사실임에  틀림없다. 우리는 직선 상의

어떤 수에 대해 “다음” 수가 없다는 것을 알고 있다. 직선상의 수들은 무한히 조밀하

다.

 

P. 152

칸토어는 새로운 개념과 아이디어를 열린 마음으로 탐구해야 한다는 신념에 따라 행

동했고, 그것을 주장했다. 그는 수학과 철학의 자유를 믿었고, 아이디어가 어디로 뻗

어가든 그 아이디어를 추구하는 것이 허용되어야 한다고 믿었다.

 

P. 216

어떤 체계가 주어졌을 때,  그 체계 내에서는 증명될 수 없는 명제가  항상 존재할 거

라고 괴델은 결론지었다.  어떤 정리가 참이라 해도, 그것을 수학적으로 증명하는 것

이 불가능할 수 있다. 이것이 바로 괴델의 유명한 불완전성 정리의 핵심이다.

 

P. 218

주어진 체계 안에서는 이해할 수 없는 아이디어나 속성이 있을 수 있다. 그것을 이해

하기 위해서는 더 높은 수준으로 초월할 필요가 있다. 칸토어가 증명했듯이 “가장 높

은” 수준은 없기 때문에,  모든 체계 안에는 항상 우리가 이해할 수 없는  아이디어나

속성이 내재해 있을 것이다.  그런 맥락에서 인간은 신을 결코 이해할 수 없다.  인간

의 정신력이 어떤 수준의 체계를 점유하고 있든, 제한된 그 체계 안에서는 완전히 이

해할 수 없는 속성들이 존재한다.  신은 그 어떤 것보다 더 높은 체계를 범유하고  있

기 때문에, 제한된 인간의 정신력으로는 그런 수준에 이를 수 없고 신을 이해할 수도

없다.